Espacio vectorial


Espacio vectorial
Informalmente podemos pensar en un espacio vectorial como un conjunto cuyos elementos podemos sumar, restar, (estructura de grupo) estirar y contraer (multiplicación por escalar). Aunque sus elementos son llamados "vectores" su estructura requiere usualmente más que magnitud, dirección y sentido. Más formalmente hay dos maneras de presentar los espacios vectoriales (E.V). La primera es práctica, detallada y elemental, se hace listando todas las propiedades de los vectores, y la segunda es teórica, conceptual, elaborada y sintética, pero requiere ciertos conocimientos en estructuras (anillos y morfismos).

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En matemática, una colección de objetos llamados vectores, junto con un campo de objetos (ver teoría de campos), llamados escalares, que satisfacen ciertas propiedades.

Las propiedades que deben satisfacerse son: (1) el conjunto de vectores es cerrado bajo la adición vectorial; (2) la multiplicación de un vector por un escalar produce un vector del conjunto; (3) la ley de asociatividad rige para la adición vectorial, u + (v + w) = (u + v) + w; (4) la ley de conmutatividad rige para la adición vectorial, u + v = v + u; (5) hay un vector 0 tal que v + 0 = v; (6) cada vector tiene un inverso aditivo (ver función inversa), v + (-v) = 0; (7) la ley de distributividad rige para la multiplicación de un escalar por una suma de vectores, n(u + v) = nu + nv; (8) la ley de distributividad también rige para la multiplicación de una suma de escalares por un vector, (m + n)v = mv + nv; (9) la ley de asociatividad rige para la multiplicación de escalares por un vector, (mn)v = m(nv), y (10) existe el escalar unitario, 1, tal que multiplicado por un vector v da v, o sea, 1v = v. El conjunto de todos los polinomios de una variable, con coeficientes reales, es un ejemplo de espacio vectorial.

Enciclopedia Universal. 2012.

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